黎曼讲的四维几何学的故事？
贝尔恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)(1826年9月17日-1866年7月20日），德国数学家，黎曼几何学创始人。 出生于德国汉诺威的一个农家。1846年进哥廷根大学学习哲学和神学，1847年转人柏林大学攻读数学，1849年回哥廷根。1851年获博士学位。后在哥廷根大学任教，同时在哥廷根天文台任职。1957年取得讲师资格，1859年接替Dirichlet担任正教授直到病逝。 黎曼是世界数学史上最多产的数学家之一，希尔伯特说:“黎曼是他所能想象的、数学家中最有创造力的人”。
1854年，黎曼完成了著名的就职演说《论作为几何学基础的假设》，对几何学的研究从欧氏空间推到了n维流形这一十分广阔的领域，并提出了欧氏几何不是空间的唯一的绝对真理，为现代相对论的创立提供了数学基础。他奠定了复变函数论的几何基础，开创了解析数论的新时期。他对于微分方程边值问题、傅里叶级数也获得一系列重要成果。
由于在哥廷根大学生活，工作了43年之久，黎曼对几何学的发展起到了至关重要的作用。正是在哥廷根，造就了爱因斯坦，闵可斯基，克莱因，彭加莱等天才有如星汉的科学群星的耀眼光芒。人类首次对“时空”产生了如此深刻的革命性的见解。从而改变了人类的宇宙观。
今天在这里我们简要的讲述一下四维几何学的起源。我们从一个数学问题开始讲起。
这就是大家在中学学习到的一元二次方程。它最多能有2个解。这里有一个简单的数学定理，这个方程的根的数量不能多余方程的此数。那么有n个未知数，n个方程组成的方程组有n个解。
问题就是这样的方程组有没有一个解。数学家们经过研究得到了下面的结果：当n≧4时，这样的方程组通常没有解。对于n<4则有解。但是对于n=3的情形人们却长期未能得到确实的结论。从1838年开始一个名叫克利福德的人研究这个方程组时，发现n=3时方程组有解，从而证明了所谓的克利福德定理。
他的方法是巧妙的，在普通的平面坐标下把n=3的方程组化为一个n=4的方程组，由上面的知识我们知道n=4时方程组有解，也由此证明了n=3时方程组有解。当时这个定理的证明引起了轰动，数学家们惊叹克利福德高超的解方程技巧。但是后来人们发现当时的证明是错误的，错误之处就是把n=3的方程组转化为n=4的方程组。这在当时是无法理解的。
后来黎曼从几何学方面解决了这个问题。他巧妙的创造了新的几何体系，在这个体系中n=3的情形与平常的体系中的n=4的情形是同一种现象。也就是说克利福德的高超技巧不过是把低维中不容易讨论的问题转化为高维中容易讨论的问题，利用高维得到的结论，然后应用于低维的问题。由此，我们看到把低维问题转化为高维问题的重要性和可行性。由此我们引出四维空间的由来。
黎曼的这一工作开创了几何学的新纪元，但是由于它过于深涩和抽象当时的人们很难领会它的精髓，连黎曼的老师高斯在生前也没有通晓它的内容。后来人们为了纪念它，把这个几何体系叫黎曼几何，而且把他的就职演说称为是数学史上三大著名演讲之一，他的演讲在1868年才由著名测量学家贝特拉米予以证明，它推动了几何学的发展。